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第二单元 繁忙的工地——线和角
【例1】3条直线相交，最多有多少个交点？4条直线相交，最多有多少个交点？你能自己寻找规律，发现10条直线相交最多有多少个交点吗？
思路分析：我们可以采取实际操作的办法来解决此类问题。
从图中可以看出：3条直线相交有3个交点，可以表示成1+2=3（条）；
4条直线相交有有6个交点，交点的个数可以表示为1+2+3=6（条）；
5条直线相交有10个交点，可以表示为1+2+3+4=10（个）；
10条直线有45个交点，可以表示为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）；
n条直线相交，交点的个数可以表示成1+2+3+4+…+（n-1）=n×(n-1)÷2。
解答：3条直线相交有3个交点，4条直线相交有有6个交点，5条直线相交有10个交点，10条直线有45个交点，n条直线相交有n×(n-1)÷2个交点。
【例2】下图中一共有多少条线段?
思路分析：以点A为端点,可以数出有线段AB,AC,AD,AE,一共有4条。
以点B为左端点的线段有线段BC,BD,BE,一共有3条。
以点C为左端点的线段有线段CD,CE,一共有2条。
以点D为左端点的线段有线段DE,有1条。
所以，一共有4+3+2+1=10(条)线段。
解答：一共有10条线段。
【例3】数一数下图中各有几个角。
思路分析：如下图,第一幅图中除了∠1、∠2、∠3三个角外,还有由∠1、∠2组合的∠4,由∠2、∠3组合的∠5,由∠1、∠2、∠3组合的∠6,所以共有6个角。第二幅图中有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6,还有由∠1、∠2组合的∠7,由∠4、∠5组合的∠8,所以共有8个角。
解答：第一幅图中有6个角,第二幅图中有8个角。
【例4】下面各是由一副三角板拼成的，想一想各图中所标的角各是多少度。
思路分析：本题考查的知识点是对三角板中各角的度数的考查，在直角三角形有两种，一个是等腰直角三角形的度数依次是90°、45°45°，另一个三角板的各角依次是90°、60°、30°。观察图形可知：
（1）∠1可以用平角减去45°的角即可；∠2可以用平角减去30°的角；
（2）这个角是45度和30度的角拼成的，用45°的角减去30°的角即可；
（3）这个角可以用平角减去60°的角即可；
（4）这个角是30度的角和45度的角拼成的，用30°的角加上45°的角即可。
解答：（1）∠1=180°-45°=135° （2）∠2=180°-30°=150°
（3）∠3=45°-30°=15° （4）∠5=30°+45°=75°
【例5】如下图所示,已知∠1=32°,求∠2、∠3、∠4和∠5的度数。
思路分析：从图中可以看出,此题应先求出∠5的度数。∠1和∠5的度数和是180°,已知∠1=32°,从而可以求出∠5的度数，即∠5=180°-32°=148°。同样，∠5和∠3的度数和也是180°,从而可以求出∠3的度数，即∠3=180°-148°=32°。∠4和∠3的和是90°,可求出∠4的度数，即∠4=90°-32°=58°。∠2是直角，即∠2=90°。
解答：∠2=90° ∠3=32° ∠4=58° ∠5=148°
【例6】你能用一张长方形纸折出45、90°、135°的角吗？
思路分析：此题考查了运用操作法来解决折角的问题。根据题意先把长方形纸对折一次，再把有折痕的边和与它相邻的边重合在一起，打开后就可以得到45°、90°、135°的角了。
解答：
【例7】下面是一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知：∠1 = 32，求∠2 =？
思路分析：本题考查的知识点是利用“数形结合”思想解答角的折叠问题。解答时由图形可以得出，∠2和2个∠1组成了一个直角，也就是和是90°，然后根据∠2=90°-2∠1即可计算可以得到答案。
解答：∠2=90°—32°× 2= 26°
【例8】求∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度数。
思路分析：由题意可知，要求五个角的度数，就得先找出一个突破口。已知平角=180°，所以∠2+120°=180°，得出∠2=60°。已知三角形的内角和为180°，所以∠1+∠2=90°，得出∠1=90°-60°=30°。已知周角=360°，所以∠3=360°-30°=330°。已知三角形的内角和为180°，所以∠1+∠5=90°，得出∠5=90°-30°=60°。已知长方形的四个角都是直角，所以∠4+∠5=90°，得出∠4=90°-60°=30°。
解答：∠1=30° ∠2=60° ∠3=330° ∠4=30° ∠5=60°
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