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文件名称： 2021年人教B版第二册高一数学第四章单元质量测评试题答案
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文件大小： 131.00 KB         整理时间：2021-05-05
文件简介：
2021届人教B版第二册高一数学第四章单元质量测评试题答案
　　时间：120分钟　　　满分：150分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．化简a·b·(－3a·b)÷的结果为(　　)
A．6a B．－a
C．－9a D．9a
答案　C
解析　a·b·(－3a·b)÷＝－3a·b÷＝－9a·b＝－9a.
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)
答案　C
解析　要使函数f(x)有意义，需使(log2x)2－1>0，即(log2x)2>1，∴log2x>1或log2x<－1.解得x>2或0 3．已知函数y＝g(x)的图像与函数y＝3x的图像关于直线y＝x对称，则g(2)的值为(　　)
A．9 B.
C. D．log32
答案　D
解析　依题意可得，g(x)＝log3x，∴g(2)＝log32.
4．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是(　　)
A．y＝lg x B．y＝3x
C．y＝x－1 D．y＝－(x＋1)2
答案　B
解析　函数y＝lg x在(－∞，0)上无意义，函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，函数y＝－(x＋1)2在(－∞，0)上先增后减，函数y＝3x在R上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数．
5．已知函数y＝－2x3＋2，则该函数在区间[0,2]上的平均变化率为(　　)
A．8 B．－8
C．16 D．－16
答案　B
解析　由题意可知x1＝0，x2＝2，所以y1＝－2×0＋2＝2，y2＝－2×23＋2＝－14，所以Δx＝x2－x1＝2，Δy＝y2－y1＝－14－2＝－16.所以该函数在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝－8，故选B.
6．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图像可能是(　　)

答案　B
解析　y＝|f(x)|≥0，排除C；取x＝，则y＝＝|－2|＝2－<1，排除D；取x＝－，y＝＝＝2－>1，排除A，故选B.
7．三个数a＝70.3，b＝0.37，c＝ln 0.3的大小顺序是(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>a>b
答案　A
解析　∵a＝70.3>1,0 ∴a>b>c.
8．已知a，b是方程log(3x)3＋log27(3x)＝－的两个根，则a＋b＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　log(3x)3＋log27(3x)＝－，即＋＝－，令t＝log3(3x)，则＋＝－，即t2＋4t＋3＝0，所以t＝－1或t＝－3，所以log3(3x)＝－1或log3(3x)＝－3，即x＝或x＝，所以a＋b＝，选C.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列函数中，是幂函数的是(　　)
A．y＝2x B．y＝x－1
C．y＝ D．y＝x2
答案　BCD
解析　y＝2x是指数函数，根据幂函数的定义，知y＝x－1，y＝，y＝x2均为幂函数．故选BCD.
10．已知等式log2m＝log3n，m，n∈(0，＋∞)成立，则下列结论可能正确的是(　　)
A．m＝n B．n C．m 答案　ABD
解析　设log2m＝log3n＝t，由对数函数的图像可知，当t＝0时，m＝n＝1，A正确；当t<0时，00时，1 11．对于函数y＝f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f(x)的值域为[ka，kb](k>0)，则称y＝f(x)为“k倍值函数”．下列函数为“2倍值函数”的是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x3＋2x2＋2x
C．f(x)＝x＋ln x D．f(x)＝
答案　ABD
解析　由题意可得，若函数y＝f(x)为“2倍值函数”，需要f(x)＝2x在定义域内至少有两个不相等的实数根，对于A，f(x)＝x2＝2x，解得x＝0或x＝2，满足题意；对于B，f(x)＝x3＋2x2＋2x＝2x，解得x＝－2或x＝0，满足题意；对于C，f(x)＝x＋ln x＝2x，无解，不满足题意；对于D，f(x)＝＝2x，解得x＝0或x＝ln ，满足题意．故选ABD.
12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则以下结论正确的是(　　)
A．当x>1时，甲在最前面
B．当x>1时，乙在最前面
C．当01时，丁在最后面
D．如果它们一直运动下去，那么最终在最前面的是甲
答案　CD
解析　路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，∴A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，∴B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体的路程相等，从而可知当01时，丁在最后面，∴C正确；指数函数的增长速度是先慢后快，而且呈爆炸式增长，故当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲，∴D正确．故选CD.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)＝－a2x－1＋2(a>0且a≠1)恒过定点的坐标是________．
答案　
解析　令2x－1＝0，解得x＝，又f＝－a0＋2＝1，∴f(x)恒过定点.
14．已知函数f(x)＝则f的值是________．
答案　
解析　因为f＝log2＝－2，而f(－2)＝3－2＝，所以f＝f(－2)＝.
15．关于x的方程lg x2－lg (x＋2)＝0的解集是________．
答案　{－1,2}
解析　由得x＝2或x＝－1.
16．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则logab＝________，a＋b＝________.
答案　　6
解析　∵logab＋logba＝logab＋＝，∴logab＝2或.∵a>b>1，∴logab 四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求当x<0时，f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≤2.
解　(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)，
又因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log(－x)．
(2)由题意及(1)，知原不等式等价于
或
解得x≥或－4≤x<0.
18．(本小题满分12分)众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本高．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比，包装成本与饼干质量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试计算该种饼干1000克装的合理售价(精确到0.1元)．
解　设饼干的质量为x克，则其售价y(元)与x(克)之间的函数关系式为y＝(ax＋b)(1＋20%)．
由已知有1.6＝(a·100＋b)×1.2，
即＝100a＋10b，①
3＝(a·200＋b)×1.2，即2.5＝200a＋10b.②
联立①②解方程组，得
∴y＝(0.0105×x＋0.0285)×1.2.
当x＝1000时，y≈13.7，
∴该种饼干1000克装的合理售价约为13.7元．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝1－2ax－a2x(a>0，且a≠1)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的值域；
(2)当a>1，x∈[－2,1]时，f(x)的最小值为－7，求a的值．
解　(1)当a＝3时，函数f(x)＝1－2·3x－32x，令t＝3x(t>0)，则g(t)＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，因为t>0，所以－(t＋1)2＋2<1，即f(x)<1，故所求函数的值域为(－∞，1)．
(2)由(1)可得f(x)＝－(ax＋1)2＋2，因为a>1，所以函数y＝ax为单调递增函数且y>0，所以函数f(x)为单调递减函数，由f(x)的最小值为－7，得f(1)＝－7，所以－(a1＋1)2＋2＝－7且a>1，解得a＝2，故所求a的值为2.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x＋log2.
(1)求f＋f的值；
(2)当x∈(－a，a](其中a∈(0,1))时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．
解　(1)因为函数f(x)的定义域是(－1,1)，
f(－x)＝x＋log2＝－(－x)＋log2－1
＝－＝－f(x)，
即f(x)＋f(－x)＝0，
所以f＋f＝0.
(2)令t＝＝－1＋，
则t＝－1＋在(－1,1)上单调递减．
又y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)＝－x＋log2在(－1,1)上单调递减．
所以当x∈(－a，a](其中a∈(0,1))时，函数f(x)存在最小值，f(x)min＝f(a)＝－a＋log2.
21．(本小题满分12分)设f(x)＝lg ，且当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求实数a的取值范围．
解　欲使x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，需1＋2x＋4xa>0恒成立，即a>－.
令u(x)＝－.
∵u(x)＝－在(－∞，1]上是增函数，
∴当x＝1时，u(x)max＝－.
于是可知，当a>－时，满足题意，即实数a的取值范围为.
22．(本小题满分12分)已知常数a(a>1)及变量x，y之间存在关系式logax＋3logxa－logxy＝3.
(1)若x＝at(t≠0)，用a，t表示y；
(2)若已知(1)中的t在区间[1，＋∞)内变化时，y有最小值8，则这时a的值是多少？x的值是多少？
解　(1)用换底公式可将原方程化为logax＋－＝3，
若x＝at(t≠0)，则t＝logax≠0，故有t＋－＝3，
整理，得logay＝t2－3t＋3，∴y＝at2－3t＋3(t≠0)．
(2)由(1)，知y＝at2－3t＋3＝a(t≥1)，
∵a>1，∴t＝时，y有最小值a，
由已知，得a＝8，∴a＝8＝24＝16，
此时x＝at＝16＝43＝64.
综上所述，a＝16，x＝64.
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