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2021届吉林省吉林市普通中学高三下学期数学理第四次调研测试试题答案
选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A D B D B B A C D B
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，
第二个空填对得3分.
13. 14. 15. 16. (2分)， （3分）
17．【解析】
（Ⅰ）法一：当时， 1分
当时， 3分
是等比数列，，即，解得 5分
所以，的值为，数列的通项公式为 6分
法二：
是等比数列，即 3分
设的公比为， 6分
（Ⅱ） 8分
12分
18.【解析】
取中点,连接、，又,得，平面平面，交线为,又平面，则平面，
,为中点，
以为轴,为轴,为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，
，，
3分
（Ⅰ），
所以与不垂直，即与平面不垂直 6分
（另解：求出平面法向量，与不平行，则与平面不垂直）
（Ⅱ）因为平面,设平面的一个法向量 7分
设为平面的一个法向量，
，
由
令，则，即， 10分
又因为，
如图知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为 12分
法二：（Ⅰ）由,,,得,
由,,，得,
所以,则不垂直于,平面,
则与平面不垂直. 3分
（Ⅱ）如图：过做，垂足为，
平面平面，交线为,又平面，
则平面， 6分
所以二面角的补角为所求. 7分
过向棱作垂线，垂足为，连接，
则就是二面角的平面角
，，所以， 10分
所以，
所以二面角的余弦值为 12分
19.【解析】
（Ⅰ）记“只进行两局比赛，逐日联盟晋级６强”为事件．
3分
（Ⅱ）记“只进行两局比赛，就能确定晋级６强联盟队”为事件
则事件包含逐日联盟晋级或凌霄联盟晋级．
7分
（Ⅲ）记“逐日联盟晋级６强”为事件．则事件包含三种情况：
① 逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟胜登峰联盟：
② 逐日联盟胜凌霄联盟，逐日联盟负登峰联盟，登峰联盟负凌霄联盟，逐日联盟胜
凌霄联盟：
③ 逐日联盟负凌霄联盟，凌霄联盟负登峰联盟，登峰联盟负逐日联盟，逐日联盟胜
凌霄联盟：
12分
(注：②③求对各给2分）
20.【解析】
（Ⅰ）根据题意椭圆上任意一点到点距离的最大值为，最小值为.
所以 解得 2分
所以
因此椭圆的标准方程为 4分
（Ⅱ）（法一）
由（1）知，为椭圆的左焦点，
根据椭圆定义知，，
设，点在圆外 6分
所以，在直角三角形中，
， 8分
由圆的性质知，四边形面积，其中． 9分
即（）．
令（），则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，在时，取极大值，也是最大值
此时 12分
（法二）同法一，四边形面积，其中 9分
所以
当且仅当，即时取等号
所以 12分
21.【解析】
因为，
所以 1分
根据题意 2分
（Ⅰ）解得 ，满足， 4分
（Ⅱ）
当时，，
令，令或
所以的递增区间是，递减区间是
当时，，
令，令
所以的递增区间是，递减区间是
综上所述：当时，的递增区间是，递减区间是；
当时，的递增区间是，递减区间是. 8分
（3）由（2）知当时，，并且，
因此有在恒成立，
用替换得，即在恒成立，
因此当时不等式恒成立
令用替换得，
所以
即 12分
22.【解析】
（Ⅰ）消去得
即曲线的普通方程为 2分
曲线的极坐标方程为 ，
由 得曲线的直角坐标方程为 4分
（Ⅱ）P是曲线右支上的动点 设点P坐标为
是曲线上 最小值即点P到曲线的距离
则= 7分
，，当且仅当时取等号
当时，取最小值 最小值为 10分
23.【解析】
（Ⅰ）当时， 2分
当且仅当 等号成立
4分
（注：没写取等号条件扣1分）
（Ⅱ）对于，恒成立
恒成立 7分
即
实数的取值范围 10分
法二：
（1）当时 即时，
6分
（2）当 即 时
①当时 ，
②当时 ，
由 ① ②可知 9分
综上：的取值范围 10分
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