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文件名称： 2021届吉林省吉林市普通中学高三下学期数学理第四次调研测试试题
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文件大小： 541.41 KB         整理时间：2021-05-30
文件简介：
2021届吉林省吉林市普通中学高三下学期数学理第四次调研测试试题
本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚.
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案
无效.
4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀.
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.
1. 已知全集，，则集合=
A. B.
C. D.
2. 已知是第二象限角，则
A. B.
C. D.
3. 已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则
A. B.
C. 或 D.

4. 甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则

A． B． C． D．
5. 已知随机变量，且，
，则为
A． B． C． D．
6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为
A． B．
C． D．
7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是
A．
B．
C．
D．
8. 已知分别为三个内角的对边，且，则为
A. B.
C. D.
9. 已知,则的大小关系是
A. B.
C. D.
10. 一副三角板有两种规格，一种是等腰直角三角形，另一种
是有一个锐角是的直角三角形，如图两个三角板斜边
之比为. 四边形就是由三角板拼成的，
，则的值为
A. B. C. D.
11. 已知函数在区间上单调递增，且在区间
上有且仅有一个解，则的取值范围是
A. B.
C. D.
12．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆与轴交于两点，设线段的中点为，若抛物线上存在一点到焦点的距离等于.下面四个命题：
① 抛物线的方程是 ② 抛物线的准线方程是
③ 的最小值是 ④ 线段长的最小值是
其中正确的命题的个数是
A． B． C． D．

第II卷（共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.
13. 已知变量和需满足约束条件，则的最小值为________.
14. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.数学周老师将秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则有________种不同的分配方式.
15．已知函数，设,其中
且，则 .
16．如图所示，在长方体中，
，点是棱
上的一个动点，若平面交棱于点
，则四棱锥的体积为 ,
截面四边形的周长的最小值为 .
三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和.
（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）令，设为数列的前项和，求.

18.（本小题满分12分）
已知斜三棱柱，侧面与底面垂直，，，，且.
（Ⅰ）试判断与平面是否垂直，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.


19.（本小题满分12分）
江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀《最强大脑(8)》现已进入联盟抢分赛环节，由12强选手组建的凌霄、逐日、登峰联盟三支队伍(每队四人)将进行“12进6”的登顶预备战，每局有两队参加，没有平局. 按12强历次成绩统计得出，在一局比赛中，逐日联盟胜凌霄联盟的概率为，逐日联盟胜登峰联盟的概率为，凌霄联盟胜登峰联盟的概率为. 联盟抢分赛规则如下：按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛，然后每局的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛. 在比赛中，有队伍先获胜两局，就算取得比赛的胜利，直接晋级6强的全国脑王争霸赛.
（Ⅰ）求只进行两局比赛，逐日联盟晋级6强的概率；
（Ⅱ）求只进行两局比赛，就能确定晋级6强联盟队的概率；
（Ⅲ）求逐日联盟晋级6强的概率.

20.（本小题满分12分）
已知点为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点距离的最大值为，最小值为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若为椭圆上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线（为切点），求四边形面积的最大值．


21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）求证： .

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，点是曲线（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点在轴右侧，点在曲线上，求的最小值.



23. [选修4—5：不等式选讲]
设函数.
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）对于，恒成立，求实数的取值范围.




2021届吉林省吉林市普通中学高三下学期数学理第四次调研测试试题
本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回.
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条
形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案
的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、
笔迹清楚.
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案
无效.
4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀.
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.
1. 已知全集，，则集合=
A. B.
C. D.
2. 已知是第二象限角，则
A. B.
C. D.
3. 已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则
A. B.
C. 或 D.

4. 甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则






A． B． C． D．
5. 已知随机变量，且，
，则为
A． B． C． D．
6. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为
A． B．
C． D．
7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是
A．
B．
C．
D．
8. 已知分别为三个内角的对边，且，则为
A. B.
C. D.
9. 已知,则的大小关系是
A. B.
C. D.
10. 一副三角板有两种规格，一种是等腰直角三角形，另一种
是有一个锐角是的直角三角形，如图两个三角板斜边
之比为. 四边形就是由三角板拼成的，
，则的值为
A. B. C. D.
11. 已知函数在区间上单调递增，且在区间
上有且仅有一个解，则的取值范围是
A. B.
C. D.
12．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆与轴交于两点，设线段的中点为，若抛物线上存在一点到焦点的距离等于.下面四个命题：
① 抛物线的方程是 ② 抛物线的准线方程是
③ 的最小值是 ④ 线段长的最小值是
其中正确的命题的个数是
A． B． C． D．

第II卷（共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 其中第16题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.
13. 已知变量和需满足约束条件，则的最小值为________.
14. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”.数学周老师将秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则有________种不同的分配方式.
15．已知函数，设,其中
且，则 .
16．如图所示，在长方体中，
，点是棱
上的一个动点，若平面交棱于点
，则四棱锥的体积为 ,
截面四边形的周长的最小值为 .
三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
已知等比数列的前项和.
（Ⅰ）求的值，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）令，设为数列的前项和，求.

18.（本小题满分12分）
已知斜三棱柱，侧面与底面垂直，，，，且.
（Ⅰ）试判断与平面是否垂直，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.


19.（本小题满分12分）
江苏卫视推出的大型科学竞技真人秀《最强大脑(8)》现已进入联盟抢分赛环节，由12强选手组建的凌霄、逐日、登峰联盟三支队伍(每队四人)将进行“12进6”的登顶预备战，每局有两队参加，没有平局. 按12强历次成绩统计得出，在一局比赛中，逐日联盟胜凌霄联盟的概率为，逐日联盟胜登峰联盟的概率为，凌霄联盟胜登峰联盟的概率为. 联盟抢分赛规则如下：按抽签决定由逐日联盟和凌霄联盟先进行第一局的比赛，然后每局的获胜队与未参加此局比赛的队伍进行下一局的比赛. 在比赛中，有队伍先获胜两局，就算取得比赛的胜利，直接晋级6强的全国脑王争霸赛.
（Ⅰ）求只进行两局比赛，逐日联盟晋级6强的概率；
（Ⅱ）求只进行两局比赛，就能确定晋级6强联盟队的概率；
（Ⅲ）求逐日联盟晋级6强的概率.

20.（本小题满分12分）
已知点为椭圆的右焦点，椭圆上任意一点到点距离的最大值为，最小值为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若为椭圆上的点，以为圆心，长为半径作圆，若过点可作圆的两条切线（为切点），求四边形面积的最大值．


21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）当曲线在处的切线与直线垂直时，求实数的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）求证： .

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答. 并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分. 如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，点是曲线（为参数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点在轴右侧，点在曲线上，求的最小值.



23. [选修4—5：不等式选讲]
设函数.
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）对于，恒成立，求实数的取值范围.
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