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文件名称： 2023年四川眉山市东坡区眉山冠城七中实验学校高二数学上学期10月月考试题
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文件大小： 648.81 KB         整理时间：2023-11-15
文件简介：
2023-2024学年眉山冠城七中实验学校高二（上）
阶段性测试（月考）
数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知为虚数单位，实数，满足，则（ ）
A．10 B． C．3 D．1
2．已知直线与直线平行，则实数（ ）
A．1或 B． C．1 D．或3
3．一个袋子装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1、2、3、4，从袋中随机抽取两个球，则取出的球的编号之和等于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
5．若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线（、，）平分圆的周长，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A． B． C． D．
8．已知，分别是直线和圆上的动点，圆与轴正半轴交于点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若直线与直线互相垂直，则实数的值是（ ）
A． B．1 C． D．3
10．已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，表示圆心为的圆
B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为
D．当时，表示的圆与轴相切
11．已知点和点，是直线上的一点，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正方体的棱长为4，为棱的中点，为线段（不包括端点）上的动点，则（ ）

A．三棱锥的体积为定值
B．设直线与平面所成线面角为，则
C．三棱锥外接球的表面积的取值范围为
D．设平面与平面所成锐二面角为，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在直角坐标系中，直线的倾斜角__________．
14．已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是__________．
15．是圆上的动点，点，则线段的中点的轨迹方程是__________．
16．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程．
17．的边边上的中线所在直线的方程为，的高所在直线方程为，顶点．
（1）求边所在的直线方程；
（2）求顶点的坐标．
18．某校为了了解学生一周内在生活方面的支出情况，从全校4000人中抽取一个容量为200的样本，样本中学生的生活方面的支出费用介于100元到180元之间．将抽样结果按如下方式分组：第一组，第二组，第三组，第四组．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示．

（1）求这200个样本中分布在区间内的人数；
（2）估计这200名学生一周内在生活方面支出费用的平均值；
（3）用样本估计总体，从本校中任抽2名学生，求2人至少有一人一周在生活方面的支出费用为内的概率．
19．设直线的方程为．
（1）求证：不论为何值，直线必过一定点；
（2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，求面积的最小值．
20．已知圆过点，，且点关于直线的对称点仍在圆上．
（1）求圆的方程；
（2）设是圆上任意一点，，，求的最大值和最小值．
21．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，求的面积；
（2）若，求周长的取值范围．
22．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，．

（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

参考答案
1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 7．A 8．C
9．AB 10．BCD 11．ABC 12．AD
13． 14．
15． 16．
17．【详解】（1）直线的斜率为，
由于直线与直线垂直，所以，边所在的直线的斜率为，
因此，边所在的直线的方程为，即；
（2）联立直线和的方程得，解得，即点．
18．【详解】（1）这200个样本中分布在区间内的人数：．
（2）样本中学生一周的消费的平均数为：
．
（3）样本中学生一周消费在区间内的频率为0.3，
用样本估计总体，则本校中一周生活消费在区间内的概率为0.3．
则从本校中任抽2人一周生活消费至少有一人在区间内的概率为：．
19．【详解】解：（1）由得，
则，解得，所以不论为何值，直线必过一定点；
（2）由得，
当时，，当时，，
又由，得，
，
当且仅当，即时，取等号．
所以三角形面积的最小值为12．
20．【详解】（1）因为关于直线的对称点仍在圆上，所以直线经过圆心，
设圆心坐标为，又圆过点，，
，解得，
圆心坐标为，半径为2，圆的方程为；
（2）设点坐标为，则：
，
，，，
，当，有最大值88；当，有最小值72．
21．【详解】（1），，
，
，，
，，
又易知，，
，．
，，，．
（2）在中，，，由余弦定理得，
，即，即，，
当且仅当时等号成立，又，，，
故周长的取值范围是．
22．【详解】（1）证明：连接，
由四边形是边长为1的菱形，，可知是正三角形．
因为是的中点，所以，又，所以．
因为底面，平面，所以．
又平面，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面．

（2）因为底面，平面，所以．
又，，所以．
因为正三角形中，，是的中点，所以．
因为平面，平面，所以，
所以．
因为，底面，
设点到平面的距离为，所以，而．
所以，即点到平面的距离为．
（3）延长、，交于点，连，则为平面和平面的交线．
取中点，连，过作，垂足为，连．
由四边形是边长为1的菱形，，
可知是正三角形，因为是的中点，所以．
因为底面，平面，所以．
又平面，平面，，
所以平面，又平面，所以，
又，平面，平面，，
所以平面，而平面，所以，则为二面角的一个平面角．
因为平面，平面，所以．
因为菱形中，，，为的中点，．
在中，，，，，
所以，，又，
所以中，，，
即平面和平面所成锐二面角的余弦值为．
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