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文件名称： 2023年四川广安市友谊中学实验学校高二数学上学期10月月考试题
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文件大小： 780.88 KB         整理时间：2023-11-15
文件简介：
广安友实学校2023-2024学年度上期高2022级第一次月考
数学试题
总分：150 考试时间：120分钟
一、单选题
1．圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量，，且，则实数x等于（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知两点，，直线l过点且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
4．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线l：，圆O：，则直线l与圆O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
6．已知实数x，y满足，那么的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
7．设点是曲线上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．0
8．如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
10．设直线l：与n：，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，l、n间的距离为 D．坐标原点到直线n的距离的最大值为
11．如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且，，则（ ）

A． B．
C． D．
12．设曲线C的方程为，下列选项中正确的有（ ）
A．由曲线C围成的封闭图形的面积为
B．满足曲线C的方程的整点（横纵坐标均为整数的点）有5个
C．若M，N是曲线上的任意两点，则M，N两点间的距离最大值为
D．若P是曲线C上的任意一点，直线l：，则点P到直线l的距离最大值为
三、填空题
13．已知向量，，则______．
14．已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是______．
15．若a，且，圆：和圆：有且只有一条公切线，则的最小值为______．
16．已知圆C：和两点，．若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为______．
四、解答题
17．根据下列条件，求直线的一般方程．
（1）过点，且与直线平行；
（2）与直线垂直，且与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积等于4．
18．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为AB中点，F为PD中点，．

（1）证明：平面PBC；
（2）求直线EF与平面PAB所成角的正弦值．
19．已知点，，以AB为直径的圆记为圆C．
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．
20．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．

（1）求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程；
（2）若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？
21．如图甲，在矩形ABCD中，，E为线段DC的中点，沿直线AE折起，使得，O点为AE的中点，连接DO、OC，如图乙．

（1）求证：；
（2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置．
22．已知圆C：，四点，，，中恰有三点在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）设以k为斜率的直线l经过点，但不经过点，若l与圆C相交于不同两点A，B．
①求k的取值范围；
②证明：直线与直线的斜率之和为定值．

广安友实学校2023-2024学年度上期高2022级第一次月考
数学试题参考答案
1．B 2．A 3．A
4．D 【详解】设，所成的角为，则．故选：D．
5．A 【详解】由圆O：，可得圆心，半径，因为圆心到直线l：的距离，所以直线l与圆O相交，故选：A．
6．A 【详解】解：可以看作直线上的动点与原点的距离的平方，又原点与该直线上的点的最短距离为原点到该直线的距离，则的最小值为．
7．B 【详解】曲线表示以为圆心，2为半径的下半圆，如图所示，表示点与连线的斜率k，当直线PQ与圆相切时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离，解得或，因为，所以，当直线经过点时，，由图可知，所以的最小值是，故选：B．

8．A 【详解】设E是AC的中点，连接EB，ES，由于，，所以，，所以是二面角的平面角，所以，由得．在中，，在中，，在中，由余弦定理得：，所以，由于，所以BS，BA，BC两两垂直．由此将三棱锥补形成正方体，正方体的边长为2，则体对角线长为．设正方体外接球的半径为R，则，所以外接球的表面积为，故选：A．
9．AC 【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为；当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点可得，即．故选：AC．
10．ACD 【详解】A：时，l：，n：，易知，正确；
B：时，l：，n：，则，故不成立，错误；
C：时，，则，可得或，当时，l：，n：，两线重合，排除；所以，由A知：它们的距离，正确；
D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确．
11．BD 【详解】因为底面ABCD，所以PD垂直于平面ABCD内的任何一条直线，
因为四边形ABCD是边长为1的菱形，且，所以和是等边三角形，
A．，故A错误；
B．，故B正确；
C．，故C错误；
D．，故D正确．
12．ACD 【详解】对于曲线C，当，时，曲线C表示，即，表示以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第四象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第二象限的部分；
当，时，曲线C表示，即，
表示以为圆心，半径为的圆在第三象限的部分；
当时，曲线表示坐标原点；
即其图象如图所示，由图可知，对于A，曲线C围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为，故A正确；对于B，曲线C恰好经过，，，，，，，，共9个整点，故B不正确；对于C，曲线上两点之间最大距离为，故C正确；对于D，由直线l：恒过定点，由C知曲线上两点之间最大距离为，故D正确．故选：ACD．

13．4 【详解】，于是．
14． 【详解】依题意，设是关于直线的对称点，则，
且，解得，故，所以，即当B，P，C三点共线时，取得最小值，又，所以，故的最小值为．
15．4 【详解】圆与圆内切，所以，即，
，当且仅当时等号成立．
16．11 【详解】由题意可得：圆C：的圆心，半径，
∵，则点P在以AB为直径的圆上（不能是A，B两点），以AB为直径的圆的圆心为，半径，由题意可得：圆C与圆O有公共点（由于y轴与圆C相离，公共点不可能为A，B），且，则，即，，解得，故m的最大值为11．
17．（1） （2）
【详解】（1）与直线平行的直线，可设为，将代入得，解得，所以直线为：．
（2）与直线垂直的直线可设为，当时，当时，，因为与x，y轴的正半轴围成的三角形的面积等于4，所以，解得，所以直线为：．
18．（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）证明：四棱锥中，底面ABCD为矩形，所以，又平面ABCD，DA，平面ABCD，所以，，如图所示，以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，取PC中点M连接MB，则，，，，，所以，，，所以，，则，即，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．

（2）解：由（1）可设平面PAB的一个法向量为，又，，，所以，令，所以，
则，所以直线EF与平面PAB所成角的正弦值为．
19．（1）；（2）或．
【详解】（1）由，，得AB的中点坐标为，即圆心坐标为，半径，∴圆C的方程为．
（2）由，可得弦心距为，
当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离为2，所以满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，即．圆心C到直线l的距离，解得，直线l的方程为，∴直线l的方程为或．
20．（1） （2）P点的横坐标取值范围是．
【详解】分别以AD，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，，
设成功点，可得，即，
化简得，因为点M需在矩形场地内，
所以，故所求轨迹方程为．
（2）当线段FP与（1）中圆相切时，，所以，若电子狗在线段FP上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是．或利用直线与圆相离求解，言之有理即可．
21．（1）证明见解析 （2）存在，点H是线段AB的中点
【详解】（1）取线段AE的中点O，连接DO，OC，在中，，∴，，在中，，，，由余弦定理可得：，∴，在中，，∴；
（2）因为，，，DO、平面ABCE，，
所以平面ABCE，过E作DO的平行线l，
以E为原点，EA，EB，l分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，平面ADE的法向量，
在平面直角坐标系xOy中，直线AB的方程为，
设H的坐标为，，则，，
设平面DHC的法向量为，，，
所以，，令，
则，，∴，
由已知，解之得：或9（舍去），
所以点H是线段AB的中点．

22．（1） （2）①或；②证明见解析
【详解】（1）显然圆C关于x轴对称，，关于x轴对称，所以、在圆C上，
因此不在圆C上，即，，在圆C上，代入圆的方程可得：，解得．
所以圆C的方程为．
（2）直线l：，．
①将直线l：代入圆C的方程得．
，解得，
又，所以或，
②设，，则，，
，，，，
所以，
圆直线与直线的斜率之和为定值．
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