西安市第八十三中学
2023-2024学年第一学期高二年级第一次月考考试数学试题
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一项符合要求）
1. 已知，且，则的值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为，
所以，解得，
故选：A
2. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.
【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，
当时，直线过原点，斜率为，故方程为；
当时，直线的斜率，
故直线方程为，即，
故选：D
3. 已知为直线的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面位置关系的空间向量表示分别判断各个小题即可.
【详解】①，判断正确；
②，判断正确；
③，判断错误；
④或，判断错误.
故选：B
4. 若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A. B. 1或 C. 或3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，即可求解.
【详解】由圆可化为，可圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切，
可得圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或.
故选：C.
5. 空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.
【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.
因为，故，,
所以点到直线的距离为.
故选：A
6. 若直线与圆交于，两点，当最小时，劣弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简直线方程化为，得到直线恒过定点，结合圆的性质和圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由题意，直线可化为，
当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点，
设圆的圆心为，半径，
当直线时，取得最小值，且最小值为，
此时弦长对的圆心角为，所以劣弧长为.
故选：B.
7. 若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.
【详解】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆的方程为，根据题意，圆与圆有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．
又圆，所以圆与圆的圆心距为，所以只需，解得．故B，C，D错误.
故选：A.
8. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解，
【详解】记，则为直线斜率，
故当直线与半圆相切时，得k最小，
此时设，故，解得或（舍去），
即．
故选：C
二、多选题（本大题4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9. 设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ）
A. 若，，则；
B. ，，不共面；
C. 对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使；
D. 则，，一定能构成空间的一个基底
【答案】BC
【解析】
【分析】根据已知条件，结合空间向量基本定理，以及基底的定义，即可依次求解．
【详解】因为，，是空间一个基底，
对A，若，，则，不一定垂直，A错误；
对B，由基底的定义知，，不可能共面，B正确；
对C，，，是空间一个基底，根据空间向量基本定理知：对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使，C正确；
对D，假设，，共面，则，
化简得，因为，，不共面，
所以，解得，故假设成立，D错误；
故选：BC
10. 设直线与，则（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. 当时，l、n间的距离为 D. 坐标原点到直线n的距离的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.
【详解】A：时，，，易知，正确；
B：时，，，则，故不成立，错误；
C：时，，则，可得或，
当时，，，两线重合，排除；
所以，由A知：它们的距离，正确；
D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.
故选：ACD
11. 下列结论正确的是（ ）
A. 若三点共线，则的值为0；
B. 已知两点，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为；
C. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1；
D. 与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三点共线、直线与线段有公共点、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
由于三点共线，所以共线，
所以，A选项正确.
B选项，，结合图象可知，直线的斜率的取值范围为，
所以B选项错误.
