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第1课时 用代入消元法解二元一次方程组
教学设计
课题 代入消元法解二元一次方程组 授课人
素养目标 1.了解解二元一次方程组的“消元”思想,体会学习数学中的“化未知为已知”,“化复杂为简单”的化归思想.
2.了解代入消元法的概念,掌握代入法的基本步骤.
3.会用代入消元法求二元一次方程组的解.
教学重点 了解代入法的一般步骤,会用代入法解二元一次方程组.
教学难点 对代入消元法解方程组过程的理解及方程组未知数系数都不为1(或-1)时,如何用一个未知数表示另一个未知数从而实现代入消元.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾旧知，新课导入
设计意图
回顾上节课的内容，为引入新课做准备. 【回顾导入】
在上节课中，我们通过探究教材P87的问题，通过设胜场数为x，负场数为y，结合问题中的相等关系，列出了二元一次方程组
x+y=10,
2x+y=16. ①②之后我们又用列表求公共解的方法得到了二元一次方程组的解.
很明显这种方法受限于问题的实际意义且求解过程比较烦琐，那有没有一种简单的方法解方程组呢？
这节课我们将要探究解二元一次方程组的其他方法. 【教学建议】
教师直接列举不适合列表求公共解的实际问题，激发学生探究方程组其他解法的兴趣.
活动二：问题引入，自主探究
设计意图
将解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，引入将“二元”转化为“一元”的“消元”思想，总结出用代入消元法解二元一次方程组的步骤. 探究点1 用代入法解二元一次方程组
问题1 教材P87的球赛积分问题，你能否列一元一次方程求解？
解：设这个队的胜场数为x，则负场数为（10-x）.
根据题意，得2x+(10-x)=16.③
解得x=6.
则10-x=4.
答：这个队胜6场，负4场.
问题2为了求胜场数和负场数，我们分别列了一元一次方程和二元一次方程组，观察“活动一”方程组中的方程②和问题1中的方程③，它们有什么区别和联系？
问题3观察方程组和一元一次方程③，怎样使含有两个未知数的方程②变成只含有一个未知数的方程③呢？方程①②③之间又有怎样的联系？
【教学建议】
学生分组讨论合作完成3个问题，感悟探究过程中所蕴含的化归思想.教师适时予以提示或指导，最终引导学生得出代入消元法的概念.
教师注意规范学生的解题格式，并强调二元一次方程组的解是一对，应写成
x=a,
y=b的形式.
教学步骤 师生活动
设计意图
通过运用代入法解方程组来解决简单的实际问题，强化解方程组的技巧和应用意识. 答：方程①移项得y=10-x，因为方程①②中的y表示的是同一未知数（负场数），故可以把方程②中的y用(10-x)来替代，即可得到方程③.
概念引入：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
例1（教材P91例1）用代入法解方程组 x-y=3,①
3x-8y=14.②
问题1选择哪个方程进行变形会比较简便，为什么？
答：选择方程①进行变形会比较简便，因为方程①中x，y的系数的绝对值都是1.
问题2用含y的式子表示x，写出解答过程.
问题3问题2中的方程③可以代入方程①吗？为什么？
答：不能.把方程③代入方程①后，会得到不含未知数的恒等式3=3，无法继续求解.方程③由方程①变形得到，不能代入原方程.
问题4问题2中的y=-1代入方程①或方程②，能求得x的值吗？
答：能.代入方程①，②还需要进一步变形才能求得x的值，代入方程③更简捷.
问题5方程①能否用含x的式子表示y来求解？试试看.
答：能.
解：由①，得y=x-3.③
把③代入②，得3x-8(x-3)=14.解这个方程，得x=2.
把x=2代入③，得y=-1.所以这个方程组的解是 x=2,
y=-1.
【对应训练】
1～2.教材P93练习第1～2题.
探究点2代入法解二元一次方程组的简单应用
例2（教材P92例2）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
问题1写出题中所包含的条件（即相等关系）.
答：①大瓶数∶小瓶数=2∶5； 在用代入法解二元一次方程组时，若未知数的系数比较复杂，可将求得的解回代入方程组进行检验.
教学步骤 师生活动
②大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量.
问题2设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.请用含x，y的式子表示上述条件中的未知量及等量关系.
答：大瓶数为x；小瓶数为y；大瓶所装消毒液为500x g；小瓶所装消毒液为250y g，总生产量为22.5t.
问题1中两个条件用字母可这么表示：
①x∶y=2∶5；②500x g+250yg=22.5t.
问题3比例式x∶y=2∶5应如何化简变形？依据是什么？
答：可化简为5x=2y.依据是比例的性质：内项的积等于外项的积.
问题4500xg+250yg=22.5t中，左右两边的单位不同，应如何处理？
答：需要将单位统一，将单位统一成“克”后可写成500x+250y=22500000.
问题5请写出完整的解题过程.
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.
根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得
5x=2y, ①
500x+250y=22500000.②
由①，得y= x.③
把③代入②，得500x+250×x=22500000.
解这个方程，得x=20000.把x=20000代入③，得y=50000.
所以这个方程组的解是 x=20000,
y=50000.
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.
上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：
问题6解这个方程组时，可以先消去x吗？试试看.
解：可以先消去x. 解答过程如下：
5x=2y, ①
500x+250y=22500000.②
由①，得x = y.③
把③代入②，得500× y + 250y=22500000.
解这个方程，得y=50000.
把y=50000代入③，得x=20000.
所以这个方程组的解是 x=20000,
y=50000.
【对应训练】
1～2.教材P93练习第3～4题. 【教学建议】
教师引导学生分析题中的两个相等关系，从而列出方程组，并独立完成解答过程，最后用框图总结出用代入法解二元一次方程组的一般步骤.根据实际问题用直接设元法列二元一次方程组的步骤：①审题，找出题中的相等关系；②根据所求问题设出两个未知数，用未知数表示出题中其他的未知量；③根据相等关系列出方程组.
活动三：重点突破，提升探究
设计意图
将二元一次方程组的解与解二元一次方程组结合，加深对概念的理解，强化解方程组的方法的应用. x=2， mx+ny=8，
例3已知 y=1 是二元一次方程组 nx-my=1 的解，求m，n的值.
解：把 x = 2，
y = 1 代入原方程组中，
得到关于m，n的二元一次方程组 2m+n=8,①
2n-m=1.②
由②，得m=2n-1.③
把③代入①，得2(2n-1)+n=8.解这个方程，得n=2.
把n=2代入③，得m=3.
所以方程组的解为 m=3，
n=2.
所以m的值为3，n的值为2.
【对应训练】
x=2, ax+by=7,
已知 y=1是二元一次方程组 ax-by=1的解，求a-b的值.
解：把x=2,y=1代入原方程组中，
得到关于a，b的二元一次方程组 2a+b=7,
2a-b=1.
解这个方程组，得a=2,b=3.
所以a-b=2-3=-1.
【教学建议】
学生独立思考完成，教师提醒学生，方程组的解必定满足方程组中每一个方程，故将方程组的解回代，即可得到关于其他字母的方程（组）.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答：解二元一次方程组的基本思想是什么？用代入法解二元一次方程组的一般步骤是怎样的？用代入法解二元一次方程组时，有哪些技巧？（以变形和代入两方面为例）
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P97习题8.2第1，2，4题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计
教学反思 本节课从问题入手，让学生分别列一元一次方程和二元一次方程组解同一个问题，从而观察两种方法所列式子之间的区别与联系，引入代入消元法.经过练习，让学生自己总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
使用代入消元法的几种技巧:
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程，则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便；
④有时还可以用“整体代入法”消元解二元一次方程组（详见后面培优计划例2）.
例用代入法解下列方程组：
（1） x=2y, ① （2） 3x+2y=7, ① （3） 4x+5y=-7, ①
2x+y=5；② 3x+y=5; ② 2x+3y=-3. ②
解：（1）将①代入②，得4y+y=5，解得y=1.
将y=1代入①，得x=2.所以这个方程组的解为x=2，y=1.
（2）由②，得y=5-3x.③
把③代入①，得3x+2(5-3x)=7，解得x=1.
把x=1代入③，得y=2.所以这个方程组的解为x=1,y=2.
（3）由②，得x = .③
把③代入①，得4×+5y=-7,解得y=1.
把y=1代入③，得x=-3.所以这个方程组的解是x=-3,y=1.
例1判断方程组 2x+y=7,①的解法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法.
6x-y=17②
解法1：由①，得y=7-2x.③
把③代入①，得2x+(7-2x)=7.所以x可以为任意实数，从而y也为任意实数，所以原方程组有无数组解.
解法2：由①，得y=7-2x.③
把③代入②，得6x-7-2x=17.解得x=6.把x=6代入③，得y=-5.所以原方程组的解为
x=6，
y=-5.
解：解法都不正确.正确的解法如下（不唯一）：
由①，得 y=7-2x.③
把③代入②，得6x-(7-2x）=17，解得x=3.
把x=3代入③，得y=1.
所以原方程组的解为x=3，y=1.
例2阅读材料并解决问题.
小亮在解方程组 x-y-1=0, ①
4(x-y)-y=5 ② 时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①，得x-y = 1.③
将③代入②，得……
（1）请你替小亮补全完整的解题过程；
（2）请你用这种方法解方程组 3x-y-2=0, ①
+3y = 10.②
解：（1）由①得x-y=1.③
将③代入②,得4×1-y=5，解得y = -1.
将y = -1代入③，得x-（-1）= 1，解得x = 0.
所以方程组的解为x = 0，y = -1.
（2）由①，得3x-y = 2.③
将③代入②，得 +3y = 10，解得y = 3.
将y = 3代入③，得3x-3 = 2，解得x = .
所以方程组的解为 x = ,
y = 3. |
