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文件名称： 第1课时 实数的概念教案
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文件大小： 775.72 KB         整理时间：2024-04-06
文件简介：
第1课时 实数的概念
教学设计
课题 实数的概念 授课人
素养目标 1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.
2.理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类.
3.理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.
4.理解实数范围内的相反数、绝对值的意义.
教学重点 1.理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数.
2.理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类.
教学难点 理解实数与数轴的关系，并进行相关运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习回顾，问题引入
设计意图
学生回忆有理数及无限不循环小数的概念，为学习实数做铺垫. 【回顾导入】
请同学们回顾下面这两个问题：
什么是有理数？有理数怎样分类？

什么是无限不循环小数？无限不循环小数都有哪些形式？
答：小数位数无限，且小数部分不循环的小数叫做无限不循环小数.很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数. 【教学建议】
教师指定学生代表作答.
活动二：问题引入，探究新知
设计意图
通过探究有理数的形式引入无理数的概念，将数系扩充至实数，达到整体认识，形成知识迁移. 探究点1实数的概念及分类
（教材P53探究）我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？

答：我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即

问题1任何有限小数或无限循环小数都可以化为分数吗？为什么？
答：可以.因为如果把整数看成小数点后是0的小数，那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数，即可以化为分数（整数可以看作分母为1的分数）. 【教学建议】
学生交流讨论，自主探究，教师归纳、订正.先通过复习有理数的概念，再经过类比学习的方法引入无理数的概念，体会两者之间的区别，最后给出实数的概念，层层设问，发展学生的自学意识.
教学步骤 师生活动
设计意图
通过具体实例，让学生直观感受无理数可用数轴上的点表示，从而深化扩展到实数与数轴上的点的一一对应关系. 问题2我们学过的所有数都能化成这种形式吗？若不能，请举例说明.
答：不能.如，这样的无限不循环小数.
概念引入：无限不循环小数又叫做无理数.
常见的无理数的形式有：①开方开不尽的数，如，-等；②π及含π的式子，如π，2+π等；③结构特殊且不循环的小数，如1.01001000100001…（相邻的两个1之间依次多一个0）.
概念引入：有理数和无理数统称实数.
问题3仿照有理数的分类，你能对实数进行分类吗？

【对应训练】
1.下列说法正确的是（ D ）
A.正实数和负实数统称为实数
B.正数、0和负数统称为有理数
C.带根号的数和分数统称为实数
D.无理数和有理数统称为实数
2.把下列各数分别填入相应的大括号中：


探究点2 实数与数轴上的点的对应关系
我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示.无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？
（1）（教材P54探究）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′对应的数是多少？ 注意强调：无限小数既可能是有理数，也可能是无理数，因为无限小数有无限循环和无限不循环两种形式.
实数分类时类比有理数的分类，让学生尝试分类，体会无理数的特征.在自主探究的过程中，发展学生的类比思想和分类思想.分类原则是不重不漏，且有时分类的数会同时属于多个集合，此时更应注意不要漏写.


【教学建议】
学生在讨论合作的基础上动手操作，教师利用多媒体课件进行动态演示，并对学生讨论交流的结果进行总结.
教学步骤 师生活动



设计意图
通过具体练习使学生体会到相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
答：从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以点O′对应的数是π.
（2）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示-.为什么？

答：在学习算术平方根的估算时，我们知道，用两个面积为1的小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，这个大正方形的边长就是小正方形的对角线长，因此图中正方形的对角线长是.所以以原点为圆心，以小正方形的对角线为半径画弧，与数轴的两个交点分别表示数，-.
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
总结：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
【对应训练】
1.教材P56练习第1题.
2.如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A左侧），且AD=AE，则点E所表示的数为（ D ）
A.
B.-
C.--1
D.-+1

探究点3实数的相反数、绝对值
思考（教材P54思考）
(1)的相反数是-，-π的相反数是π，0的相反数是0；
(2)||=，|-π|=π，|0|=0.
你能得出实数的相反数和绝对值的意义吗？
相反数的意义：数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
绝对值的意义：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

由上可知，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
例1（教材P55例1）(1)分别写出-，π-3.14的相反数；
（2）指出-，1-各是什么数的相反数；
(3)求的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是，求这个数.
解：(1)因为-(-)=，-(π-3.14)=3.14-π，
所以，-，π-3.14的相反数分别为，3.14-π.
(2)因为-()=-，-(-1)=1-，
所以，-，1-分别是，-1的相反数.
(3)因为== -4，所以|| = |-4| = 4.
(4)因为||=，|-|=，所以绝对值为的数是3或-.
【对应训练】
1~2.教材P56练习第2~3题.
3.填表：
注意使学生感受在数的范围扩充到实数后，有理数与数轴上的点不是一一对应的，而实数才是.


【教学建议】
教师可引导学生通过复习有理数的相反数、绝对值，类比得出实数的相反数、绝对值.教师只需引导，以学生为主体，讨论交流，发展学生认知的类比迁移能力.应使学生明确，在数的范围扩充至实数后，数的绝对值的最小值依然是0，因为绝对值都是非负实数.
活动三：重点突破，综合探究
设计意图
强化巩固对于实数与数轴上的点的一一对应关系的理解，并能在实践中灵活运用，解决综合类型题目. 例2如图，数轴上A,B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（ C ）
A.6个 B.5个
C.4个 D.3个
【对应训练】
如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足|a+3|+(b-6)2=0.
（1）点A表示的数为 -3，点B表示的数为6；
（2）若点C表示的数的绝对值为，求点C到点B的距离.

解：若点C表示的数的绝对值为，则点C表示的数为或-2，
当点C表示的数为时，点C到点B的距离为6-；
当点C表示的数为-时，点C到点B的距离为6+. 【教学建议】
学生分组交流，讨论作答.鼓励学生动手操作，画图描点，有助于厘清思路.此类题目较好地将知识进行了综合，并有一定的拓展，能培养学生大胆尝试、勇于探索的精神，提高学生的思维能力.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】随堂训练见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是无理数？什么是实数？实数怎么分类？数轴上的点与什么数是一一对应的？实数的相反数、绝对值的意义是什么？
【知识结构】

【作业布置】
1.教材P57习题6.3第1,2,3,7,9题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
教学步骤 师生活动
板书设计
教学反思 本节课学习了实数的有关概念和实数的分类，把我们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数，在此基础上，明确了实数与数轴上的点的一一对应的关系，并指出求相反数和绝对值的方法在实数范围内同样适用.学习中要求学生结合有理数理解实数的有关概念，同时要注意两个地方：一是所有的分数都是有理数，如；二是形如，等之类的含有π的数不是分数，而是无理数.



1.实数分类的注意事项：对实数分类时，应先对某些数进行化简，然后根据最后结果进行分类.例如，=5，它既是整数，也是自然数，更是有理数，应根据其性质将它填入符合的集合里，可能会同属于多个集合，这样才能做到不重不漏.另外，填入集合的数必须是原数，即，而不是化简后得到的5.
2.数轴上的点与实数的关系：

解题时注意：①关于数轴原点对称即为求该数的相反数；②数轴上两点之间的距离即为求两点所表示的实数的差的绝对值.
例 如图，数轴上A，B两点表示的数分别是-1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数.


分析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数.
解：因为数轴上A，B两点表示的数分别为-1和，所以点B到点A的距离为1＋.则点C到点A的距离也为1＋.设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为-1-x，
所以-1-x=1＋，所以x=-2-.所以点C所表示的实数为-2-.

例1如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m.
（1）实数m的值是2-；
（2）求|m+1|+|m-1|的值；
（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c-3d的平方根.

解：（2）因为m=2-，则m+1>0，m-1<0，
所以|m+1|+|m-1|=m+1+1-m=2.
（3）因为|2c+d|与互为相反数，
所以|2c+d|+=0，所以|2c+d|=0，且=0，
所以c=-2，d=4，或c=2，d=-4.
①当c=-2，d=4时，2c-3d=-16，无平方根；
②当c=2，d=-4时，2c-3d=16，所以2c-3d的平方根为±4.
综上，2c-3d的平方根为±4.
例2如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8.
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长；
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与表示-1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为-1-.

分析：（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小立方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解.
解：（1）设魔方的棱长为x，则x3=8，所以x=2.
（2）因为棱长为2，所以魔方的每个面的面积为22=4.
易知正方形ABCD的面积为=2.
所以正方形ABCD的边长为.
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